quarta-feira, 25 de novembro de 2009

Diagrama de venn

Através de estudos relacionados à lógica, Jon Venn criou uma diagramação baseada em figuras no plano, esse método consiste basicamente em círculos que possuem a propriedade de representar relações entre conjuntos numéricos. Também pode ser utilizado no estudo da Estatística, a fim de organizar e analisar dados colhidos em pesquisas de opinião. Geralmente usamos os seguintes modelos de diagramas:

Representação de conjunto único
Números Naturais (1, 2, 3, 4, 5, 6)


Relação entre dois conjuntos: A e B.
A = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
B = (5, 6, 7, 8, 9, 10)

Símbolos
U = união
∩ = intersecção

A U B = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)
A ∩ B = (5, 6)



Relação entre três conjuntos: A, B e C.
A = (3, 4, 5, 6, 7, 8)
B = (4, 6, 8, 10, 12)
C = (1, 2, 3, 4, 6, 10)


A U B = (3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12)
A U C = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10)
B U C = (1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12)
A ∩ B = (4, 6, 8)
A ∩ C = (3, 4, 6)
C ∩ B = (4, 6, 10)




Podemos observar através dos exemplos que os diagramas representam de uma forma prática e eficiente as relações de união e de intersecção entre os conjuntos numéricos. Eles podem ser usados na representação de quaisquer conjuntos, no intuito de estabelecer uma melhor demonstração e compreensão dos elementos pertencentes ao conjunto.

Conjuntos de numeros

E o que é um conjunto?

Mas, bah!! A concepção de conjuntos nem precisa ser dita, o próprio nome já diz tudo.
Ex. Pega um grupo de cadeiras e junta sobre um círculo feito no chão. Pronto, temos um conjunto de cadeiras.

Mas como o nosso negócio é matemática, o que nos interessa é números.

Conjuntos numéricos podem ser representados de diversas formas. A forma mais simples é dar um nome ao conjunto e expor todos os seus elementos, um ao lado do outro, entre os sinais de chaves. Veja o exemplo abaixo:



Esse conjunto se chama "A" e possui três termos, que estão listados entre chaves.

Os nomes dos conjuntos são sempre letras maiúsculas. Quando criamos um conjunto, podemos utilizar qualquer letra.


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Vamos começar nos primórdios da matemática.

- Se eu pedisse para você contar até 10, o que você me diria?

- Um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove e dez.

Pois é, estes números que saem naturalmente de sua boca quando solicitado, são chamados de números NATURAIS, o qual é representado pela letra .
Foi o primeiro conjunto inventado pelos homens, e tinha como intenção mostrar quantidades.

*Obs.: Originalmente, o zero não estava incluído neste conjunto, mas pela necessidade de representar uma quantia nula, definiu-se este número como sendo pertencente ao conjunto dos Naturais. Portanto:



Obs.2: Como o zero originou-se depois dos outros números e possui algumas propriedades próprias, algumas vezes teremos a necessidade de representar o conjunto dos números naturais sem incluir o zero. Para isso foi definido que o símbolo * (asterisco) empregado ao lado do símbolo do conjunto, iria representar a ausência do zero. Veja o exemplo abaixo:




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Estes números foram suficientes para a sociedade durante algum tempo. Com o passar dos anos, e o aumento das "trocas" de mercadorias entre os homens, foi necessário criar uma representação numérica para as dívidas.

Com isso inventou-se os chamados "números negativos", e junto com estes números, um novo conjunto: o conjunto dos números inteiros, representado pela letra .


O conjunto dos números inteiros é formado por todos os números NATURAIS mais todos os seus representantes negativos.

Note que este conjunto não possui início nem fim (ao contrário dos naturais, que possui um início e não possui fim).

Assim como no conjunto dos naturais, podemos representar todos os inteiros sem o ZERO com a mesma notação usada para os NATURAIS.



Em algumas situações, teremos a necessidade de representar o conjunto dos números inteiros que NÃO SÃO NEGATIVOS.

Para isso emprega-se o sinal "+" ao lado do símbolo do conjunto (vale a pena lembrar que esta simbologia representa os números NÃO NEGATIVOS, e não os números POSITIVOS, como muita gente diz). Veja o exemplo abaixo:



Obs.1: Note que agora sim este conjunto possui um início. E você pode estar pensando "mas o zero não é positivo". O zero não é positivo nem negativo, zero é NULO.

Ele está contido neste conjunto, pois a simbologia do sinalzinho positivo representa todos os números NÃO NEGATIVOS, e o zero se enquadra nisto.

Se quisermos representar somente os positivos (ou seja, os não negativos sem o zero), escrevemos:



Pois assim teremos apenas os positivos, já que o zero não é positivo.

Ou também podemos representar somente os inteiros NÃO POSITIVOS com:



Obs.: Este conjunto possui final, mas não possui início.

E também os inteiros negativos (ou seja, os não positivos sem o zero):



Uma propriedade interessante dos números inteiros, que já foi mencionada neste texto (e que podemos representar em um gráfico) é a de ter em seu interior todos os números naturais. Veja o gráfico abaixo:




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Olhando ainda pela linha do tempo, em um determinado momento começou a ficar crucial a necessidade de se representar "partes" de alguma coisa. Ex.: fatia de um bolo, pedaço de um terreno,... e por essa necessidade foi inventado as frações. Para incluir os número ditos fracionários junto com os já existentes, criou-se o conjunto dos números RACIONAIS (), que indica uma razão (divisão) entre dois números inteiros.

Alguns exemplos de números racionais são mostrados abaixo:



Ou seja, números racionais são todos aqueles que podem ser representados por uma fração de números inteiros.

- Ué, o que que o 6 e o 2,3 estão fazendo ali em cima, se eles não têm o sinal de fração?
- Ora, o 6 pode ser representado pela fração ou até mesmo , e o 2,3 pode ser , portanto, se um número tem a possibilidade de ser escrito em fração de números inteiros, é considerado racional.

- Então me parece que todos os números com vírgula serão racionais??
- Não. Somente os que possuírem finitos algarismos após a vírgula, e as chamadas dízimas periódicas, que possuem infinitos algarismos após a vírgula mas são números racionais. Veja os exemplos abaixo.
3,14159265...
Este não é um número Racional, pois possui infinitos algarismos após a vírgula (representados pelas reticências)
2,252
Este é um número Racional, pois possui finitos algarismos após a vírgula.
2,252525...
Este número possui infinitos números após a vírgula, mas é racional, é chamado de dízima periódica. Reconhecemos um número destes quando, após a vírgula, ele sempre repetir um número (no caso 25).

Com isso podemos concluir que o conjunto dos números RACIONAIS é formado por todos os números Inteiros (como vimos no exemplo anterior, um inteiro pode ser representado como uma fração, por exemplo 10 pode ser ) e mais alguns.

Portanto, o conjunto dos inteiros está "dentro" do conjunto dos Racionais. Representamos assim:



Note que até agora o conjunto dos números racionais é o maior de todos. E assim durou por muito tempo!
Obs.1: As notações para os "não positivos" e os "não negativos", utilizados para os inteiros, também podem ser usadas para os racionais.
Obs.2: O zero É um número racional, pois podemos representá-lo pela fração:


= {Todos os racionais sem o zero}
= {Todos os racionais NÃO NEGATIVOS}
= {Todos os racionais NÃO NEGATIVOS sem o zero, ou seja, os positivos}
= {Todos os racionais NÃO POSITIVOS}
= {Todos os racionais NÃO POSITIVOS sem o zero, ou seja, os negativos}

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Se formos um pouco mais além na história, vamos chegar ao famoso teorema de Pitágoras.
- Ué, não estamos estudando conjuntos?
- Sim, calma lá, é só para explicar.
Pense comigo:
Se temos um triângulo com catetos medindo 1 unidade de comprimento.

Pelo teorema de Pitágoras, calculamos que o terceiro lado (a hipotenusa), vale .
- E quanto é?
- Pois isto não podemos dizer exatamente. O que se sabe é que não dá para representar como uma fração de números inteiros, pois tem infinitas casas depois da vírgula (e não é uma dízima periódica). Então não podemos chamá-lo de número racional. Por este motivo houve a necessidade de criar-se mais um conjunto. Que, por oposição aos números racionais, chama-se "CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS". Formado por todos os números que, ao contrário dos racionais, NÃO podem ser representados por uma fração de números inteiros. Este conjunto é representado por .
As raízes quadradas não exatas são os principais representantes deste conjunto.

Por exemplo:

=> Todos estes valores não podem ser representados por uma fração de números inteiros, portanto, são chamados de números irracionais.

=> Este número também não tem uma representação em forma de fração, por isso também é um número irracional. Ou seja, se somarmos um racional com um irracional teremos como resultado um irracional.
=> Este também é irracional, pelo mesmo motivo do número acima.
- Ah, entendi! Então o conjunto dos irracionais é formado só pelas raízes quadradas não exatas?

- Não, todas raízes não exatas fazem parte do conjunto dos números irracionais. Mas não são só elas, também estão neste conjunto o número pi (π=3,141592...), o número de Euler (e = 2,71828...), e alguns outros.

Para o Vestibular esses são os irracionais mais importantes!
Portanto, se um número for racional, não pode ser irracional, e vice-versa.

Por isso que, ao representarmos nos balões, devemos separá-los. Veja a figura abaixo:


Estes números foram utilizados por séculos e até hoje são considerados os mais importantes. Por este motivo, foi dado um nome para o conjunto formado por todos estes conjuntos. O nome escolhido foi "CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS"

Ou seja, o conjunto dos números Reais é formado por todos os números Racionais junto com os números Irracionais, portanto:



Note que na parte pintada, não há nenhum número.

Pois, se um número é Real, ou ele será Racional ou ele será Irracional, e se encontrará no seu respectivo conjunto. Não existindo nenhum número que seja REAL e não seja ou RACIONAL ou IRRACIONAL.


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Durante muito tempo foi só isso que precisamos, conseguíamos fazer todos os cálculos necessários com apenas estes números.

Mas o tempo foi passando e novas necessidades foram surgindo, veja a história a seguir.
Com um grande salto no tempo, chegamos na casa de nosso querido amigo Caju!
Estava ele brincando com números em sua casa, quando houve o seguinte diálogo...

Caju - Mãe, mãe. Olha só que legal, eu sei que é 5, porque 5 ao quadrado é 25.
Mãe - Oh! Meu filhão, muito bem!
Caju - Também sei que é 9, pois 9 ao quadrado é 81.
Mãe - Ah, filhinho, que bonitinho! Mas me diz uma coisa, quanto é ?
Caju - Ora mãe, isso é fácil, é –5 !
Mãe - Então me prova.
Caju - Olha mãe, (–5) ao quadrado dá... dá...... ops, dá +25...
Pois é galera, qualquer número negativo elevado ao quadrado resulta um valor positivo, então como fazer para calcular a raiz quadrada de um número negativo?
A partir daí firmou-se um mistério na Matemática: quanto vale esta droga de raiz?
O tempo passou, e para solucionar o caso, convencionou-se que , onde i é chamado de unidade imaginária.

Então este mistério foi solucionado
Ex.:
^-- Aqui foram usadas as propriedades de radiciação.
E com isso formou-se o conjunto dos números IMAGINÁRIOS, representado pela letra , que é composto por todas as raízes de números negativas.
Novamente temos uma divisão, ou o número é Real ou não é Real. Por isso devemos colocar o balão dos imaginários separado dos números Reais. Veja o desenho:


Agora, neste caso temos uma dúvida. Se somarmos um número Real com um número imaginário, como por exemplo:
2+3i
Em que balão ele vai se encontrar?
Não pode ser real, e também não pode ser imaginário.
Para solucionar este caso, convencionou-se que o conjunto dos Reais junto com o conjunto dos Imaginários, é chamado de Conjunto dos números COMPLEXOS, que é representado por C.
Note que o conjunto dos números complexos é o conjunto de TODOS os números que conhecemos até hoje! Preste bem atenção, eu disse TODOS os números conhecidos até hoje! Veja o gráfico abaixo:

E com estes números a sociedade vive "muito bem, obrigado" até hoje. Quem sabe, com a evolução da matemática, novas necessidades poderão surgir e novos números aparecerão. Esperaremos ansiosos!! Falow!!

Exercícios:
Diga a qual conjunto pertence os números:a) Este número pode ser representado por 355/10 então é RACIONAL e consequentemente REAL e COMPLEXO

b) Este número é inteiro e positivo, então NATURAL e consequentemente INTEIRO, RACIONAL, REAL e COMPLEXO.

c) Esta raiz não é exata, então, IRRACIONAL e consequentemente REAL e COMPLEXO

d) Esta raiz é exata, e isto é igual a 12, então, NATURAL e consequentemente INTEIRO, RACIONAL, REAL e COMPLEXO

e) Raiz de número negativo, que é igual a 9i, então, IMAGINÁRIO e consequentemente COMPLEXO.

f) Número multiplicado por unidade imaginária, IMAGINÁRIO e consequentemente COMPLEXO.

g) Número real somado com um imaginário, COMPLEXO.

Trigonometria

Sobre a trigonometria
Dois triângulos são ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro. Este é o caso se, e somente se, seus ângulos correspondentes são iguais. O fato crucial sobre triângulos semelhantes é que os comprimentos de seus lados são proporcionais. Isto é, se o maior lado de um triângulo é duas vezes o maior que o lado do triângulo similar, então o menor lado será também duas vezes maior que o menor lado do outro triângulo, e o comprimento do lado médio será duas vezes o valor do lado correspondente do outro triângulo. Assim, a razão do maior lado e menor lado do primeiro triângulo será a mesma razão do maior lado e o menor lado do outro triângulo.

Usando estes fatos, definem-se as funções trigonométricas, começando pelos triângulos retângulos (triângulos com um ângulo reto 90 graus ou π/2 radianos). O maior lado em um triângulo qualquer é sempre o lado oposto ao maior ângulo e devido a soma dos ângulos de um triângulo ser 180 graus ou π radianos, o maior ângulo em um triângulo retângulo é o ângulo reto. O maior lado nesse triângulo, consequentemente, é o lado oposto ao ângulo reto, chamado de hipotenusa e os demais lados são chamados de catetos.

Dois triângulos retângulos que compartilham um segundo ângulo A são necessariamente similares, e a razão entre o lado oposto a A e a hipotenusa será, portanto, a mesma nos dois triângulos. Este valor será um número entre 0 e 1 que depende apenas de A. Este número é chamado de seno de A e é escrito como . Similarmente, pode-se definir o cosseno (ou co-seno) de A como a razão do cateto adjacente a A pela hipotenusa.

[editar] Círculo Trigonométrico

Círculo trigonométricoVer artigo principal: Círculo trigonométrico
É uma circunferência orientada de raio unitário, centrada na origem dos eixos de um plano cartesiano ortogonal. Existem dois sentidos de marcação dos arcos no ciclo: o sentido positivo, chamado de anti-horário, que se dá a partir da origem dos arcos até o lado terminal do ângulo correspondente ao arco; e o sentido negativo, ou horário, que se dá no sentido contrário ao anterior.

[editar] Seno
Ver artigo principal: Seno
Seno é a projeção no eixo vertical do segmento de reta que parte do centro do círculo trigonométrico e vai até a circunferência.

Como o seno é uma projeção, e esta projeção está no interior do ciclo trigonométrico e este possui raio unitário, segue que, , ou seja, a imagem do seno é o intervalo fechado [ − 1,1].

O seno de um ângulo agudo é a razão (divisão) entre a medida do cateto oposto e a medida da hipotenusa.

[editar] Co-seno
Ver artigo principal: Co-seno
Co-seno é a projeção no eixo horizontal do segmento de reta que parte do centro do círculo trigonométrico e vai até a circunferência. Como o co-seno é uma projeção, e esta projeção está no interior do ciclo trigonométrico e este possui raio unitário, segue que, , ou seja,a imagem do cosseno é o intervalo fechado [ − 1,1].

O co-seno de um ângulo agudo é a razão (divisão) entre a medida do cateto adjacente e a medida da hipotenusa.

[editar] Tangente
Ver artigo principal: Tangente
Tangente é o segmento de reta formado entre o ponto de cruzamento de seu eixo com a reta definida pelo centro do círculo trigonométrico e o ângulo com sua origem.

A tangente de um ângulo agudo é a razão (divisão) entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente.

[editar] Ângulos Notáveis
Utilizando um triângulo equilátero e um quadrado podemos obter os valores de senos, cosenos e tangentes para os ângulos de 30, 45 e 60 graus.

- Obtendo os valores dos ângulos de 30 e 60 graus:

Visualize a imagem a seguir, é um triângulo equilátero e A cortando ao meio o triângulo equilátero, obteremos dois triângulos retângulos com ângulos de 30º e 60º.



Tomando o lado como um Valor Chamado de L, teremos a hipotenusa do triângulo retângulo igual a L a parte cortada como valor e por Pitágoras chegamos ao valor do outro cateto que será a , como podemos observar na figura a seguir.



A partir desse triângulo retângulo obteremos todos os valores notáveis:

Seno de 30º = ; porque (o cateto oposto) dividido pela Hipotenusa L resulta em .

Cosseno de 30º = ; porque o cateto adjacente dividido pela hipotenusa resulta nesse valor.

Tangente de 30º = ; Porque resultando em .

De Maneira Análoga obtemos o Cosseno e o seno de 60º, descubra-os utilizando a figura anterior.

- Obtendo os valores do ângulo de 45º

Observe o quadrado abaixo, ele foi dividido pela diagonal em dois triângulos retângulos com ângulos de 45º.



No triângulo amarelo podemos descobrir o valor da hipotenusa sabendo o dos lados que serão L, resultando em .(e nao dividido como no desenho!)



Vamos analisar o ângulo C de 45 graus: O seno de 45 graus será o cateto oposto dividido pela hipotenusa resultando em que racionalizado fica , o mesmo ocorre com o cosseno, já a tangente é cateto oposto dividido pelo cateto adjacente que valem L resultando em .

[editar] Algumas relações

Estas são as mais importantes funções trigonométricas; outras funções podem ser definidas tomando as razões dos outros lados de um triângulo retângulo, mas podem ser expressas em termos de seno e cosseno. São elas a tangente, secante, cotangente, e cossecante.




O círculo unitárioAs razões seno, cosseno e tangente podem ser lembradas por SOH CAH TOA (seno-oposto-hipotenusa cosseno-adjacente-hipotenusa tangente-oposto-adjacente). Veja minemônicos trigonométricos.

Até então, as funções trigonométricas tem sido definidas por ângulos entre 0 e 90 graus (0 e π/2 radianos) apenas. Usando um círculo unitário, pode-se estendê-los para todos argumentos positivos e negativos (veja função trigonométrica).


Relógio de solUma vez que as funções seno e cosseno tenham sidos tabuladas (ou computadas por uma calculadora), pode-se responder virtualmente todas questões sobre triângulos arbitrários, usando a lei dos senos e a lei dos cossenos. Estas leis podem ser usadas para calcular os ângulos restantes e lados de qualquer triângulo bem como dois lados e um ângulo ou dois ângulos e um lado ou três lados conhecidos.

Alguns matemáticos acreditam que a trigonometria foi originalmente inventada para calcular relógios de sol, um tradicional exercício em antigos livros. Isto é também muito importante para a agrimensura.




[editar] Teorema de Pitágoras
Ver artigo principal: Teorema de Pitágoras
O teorema de Pitágoras estabelece que "A soma do quadrado das medidas dos catetos (lados que formam o ângulo de 90°, neste caso a e b) é igual ao quadrado da medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90°, ou c)". Assim: c ² = a ² + b ². Um corolário desse teorema é que se os dois catetos forem de mesmo tamanho, a hipotenusa vale o produto do cateto pela raiz quadrada de 2.

[editar] Aplicações da trigonometria
Existem diversas aplicações da trigonometria e das funções trigonométricas. Por exemplo, a técnica da triangulação é usada em astronomia para estimar a distância das estrelas próximas; em geografia para estimar distâncias entre divisas e em sistemas de navegação por satélite. As funções seno e cosseno são fundamentais para a teoria das funções periódicas, as quais descrevem as ondas sonoras e luminosas.

Campos que fazem uso da trigonometria ou funções trigonométricas incluem astronomia (especialmente para localização de posições aparentes de objetos celestes, em qual a trigonometria esférica é essencial) e portanto navegação (nos oceanos, em aviões, e no espaço), teoria musical, acústica, óptica, análise de mercado, eletrônica, teoria da probabilidade, estatística, biologia, equipamentos médicos (por exemplo, Tomografia Computadorizada e Ultrassom), farmácia, química, teoria dos números (e portanto criptologia), sismologia, meteorologia, oceanografia, muitas das ciências físicas, solos (inspeção e geodesia), arquitetura, fonética, economia, engenharia, gráficos computadorizados, cartografia, cristalografia e desenvolvimento de jogos.

[editar] Fórmulas comuns
Algumas equações envolvendo funções trigonométricas são verdade para todos os ângulos e são conhecidas como "identidades trigonométricas". Muitas expressam relações geométricas importantes. Por exemplo, as identidades Pitagoreanas são uma expressão do Teorema de Pitágoras. Aqui há algumas das identidades mais cumumente utilizadas, assim como as fórmulas mais importantes conectando ângulos e lados de um triângulo arbitrário.

[editar] Identidades Trigonométricas
[editar] Fórmula fundamental da trigonometria e seus corolários

[editar] Identidades de soma e subtração
Falhou ao verificar gramática (Função desconhecida\sen): \begin{align} \operatorname{sen}(A \pm B) &= \operatorname{sen} A \cos B \pm \sen b \operatorname{cos}a \\ \cos(A \pm B) &= \cos A \cos B \mp \operatorname{sen} A \operatorname{sen} B \\ \tan(A \pm B) &= \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} \\ \cot(A \pm B) &= \frac{\cot A \ B \mp 1}{\cot B \pm \cot A} \end{align}



[editar] Fórmulas da duplicação do ângulo

[editar] Fórmulas da divisão do ângulo em dois
Note que está correto, isso significa que pode haver qualquer dos dois sinais, dependendo do valor de A / 2.


[editar] Identidades triangulares
As identidades que se seguem referem-se a um triângulo com ângulos A, B e C e lados de comprimentos a, b e c, como na figura ao lado. Repare que o lado oposto ao ângulo A é o de comprimento a, o lado oposto ao ângulo B é o de comprimento b e o lado oposto ao ângulo C é o de comprimento c.

[editar] Lei dos senos
A lei dos senos para um triângulo arbitrário diz:


ou equivalentemente:


[editar] Lei dos cossenos
A lei dos cossenos (também conhecida como fórmula dos cossenos) é uma extensão do teorema de Pitágoras para triângulos arbitrários:


ou equivalentemente:


o teorema de pitágoras é um caso particular da Lei dos Cossenos, quando o cosseno de 90°é 0.
[editar] Lei das tangentes
A lei das tangentes:





'Como saber o ângulo interno de um triângulo retângulo?'

Sendo

, em que:

Sen(A) é comprimento do cateto oposto e Cos(A) A o comprimento do cateto adjacente.

A tangente inversa (tan − 1(A) ou )é o ângulo interno.

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Porcentagem

Introdução:

Utilizamos o cálculo de porcentagem constantemente no nosso cotidiano. Dois simples exemplos:

Ex.1) Uma loja lança uma promoção de 10% no preço dos seus produtos. Se uma mercadoria custa R$120,00, quanto a mercadoria passará a custar?

O desconto será de 10% do valor de R$120,00. Logo:

Retiramos, portanto, R$12,00 de R$120,00: 120 - 12 = 108
Passaremos a pagar, com a promoção, R$108,00.
Produtos Notáveis

Antes de iniciarmos o estudo de produtos notáveis, vamos recordar a propriedade distributiva.

(a+b).(a+b) = a²+ab+ab+b² = a²+2ab+b²

(a-b).(a-b) = a²-ab-ab+b² = a²-2ab+b²

(a+b+c).(a+b+c)=a²+ab+ac+ab+b²+bc+ac+bc+c²
Somando os termos semelhantes: a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac


Notem que na propriedade distributiva: multiplicamos todos os termos (não se esquecendo das regras dos sinais) e somamos os termos semelhantes.
Afim de economizar tempo e não ter de multiplicar termo a termo, utilizamos os produtos notáveis.

Produtos Notáveis são aqueles produtos que são freqüentemente usados e para evitar a multiplicação de termo a termo, existem algumas fórmulas que convém serem memorizadas.

1) Soma pela diferença: quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.

( a + b ).( a – b ) = a² - b²

2) Quadrado da soma: quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.

( a + b )² = a² + 2ab +b²

3) Quadrado da diferença: quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.

( a – b )² = a² - 2ab + b²

Existem muitas outras outras fórmulas:

( a + b ) ³ = a³ + 3 a ²b + 3ab² + b³

(a – b )³ = a³ - 3 a²b + 3ab² - b³






Não freqüentemente usadas:








Ex.2) Uma sala de aula possui 100 alunos, sendo que 40% são meninas. Qual a quantidade de meninas e de meninos?

A quantidade de meninas será:

E a de meninos será: 100 - 40 = 60.

Sugestão: Caso tenham dúvidas em multiplicação de frações, visitem a seção Frações, presente neste site, antes de iniciar o estudo de porcentagem.

Razão centesimal:

Como o próprio nome já diz, é a fração cujo denominador é igual a 100.

Exemplos:

(lê-se 10 por cento)

(lê-se 150 por cento)

Definição de taxa porcentual ou porcentagem:

Chama-se taxa porcentual ou porcentagem de um número a sobre um número b, , à razão tal que

Indica-se por



Definição meio complicada não acham? Pois é muito simples:

Porcentagem é o valor obtido quando aplicamos uma razão centesimal a um determinado valor.

Porcentagem, como o nome já diz, é por 100 (sobre 100).

Exemplos para compreendermos melhor:

Ex.1) Calcule:

a) 10% de 500:
A razão centesimal é :
Portanto,

b) 25% de 200:

Portanto,

Ex.2) Qual a taxa porcentual de:

a) 3 sobre 5?


5x = 300
x= 60

A taxa é de 60%

b) 10 sobre 20?


20x = 1000
x = 50

A taxa é de 50%

Certa vez, perguntaram-me algo tão simples, mas que ,talvez, tenham dúvidas: Como se calcula porcentagem em uma calculadora?

Vamos a um exemplo: Quanto é 20% de 500?

Digitem: 500
Aperte a tecla de multiplicação: X
Digitem: 20
Aperte a tecla de porcentagem: %

O resultado, como pode ser visto, é 100.



Agora que compreendemos a definição de porcentagem, vamos a resolução de alguns exercícios elementares.

Exercícios resolvidos:

1) Uma compra foi efetuada no valor de R$1500,00. Obteu-se um desconto de 20%. Qual foi o valor pago?

O desconto será:

Portanto, pagou-se: 1500 - 300 = 1200.

Dica: Para agilizarmos o cálculo, vamos pensar um pouco:
O valor total da compra é 100%. Se obtivermos um desconto de 20%, isso quer dizer que pagaremos somente 80% do valor (100% - 20% = 80%)
Logo,

2) Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valorização (acréscimo) de 10% sobre o seu preço. Quanto ele passou a custar?

O acréscimo será de:

Portanto, passará a custar: 12.000 + 1.200 = 13.200

Dica: O valor inicial do carro era de 100%, se ele sofreu uma valorização de 10%, isso quer dizer que ele passará a custar 110% (100 + 10 = 110) do seu valor inicial. Logo:



3) Um computador que custava R$2.000,00, apresentou um lucro de R$100,00. De quanto porcento foi o lucro sobre o preço de venda?



2000x = 10000
x = 5

Portanto, 5%.

4) Um comerciante que não possuia conhecimentos de matemática, comprou uma mercadoria por R$200,00. Acresceu a esse valor, 50% de lucro. Certo dia, um freguês pediu um desconto, e o comerciante deu um desconto de 40% sobre o novo preço, pensando que, assim, teria um lucro de 10%. O comerciante teve lucro ou prejuízo? Qual foi esse valor?

Vamos por etapas:
O comerciante comprou a mercadoria por R$200,00 e acresceu 50% sobre esse valor.



Logo, a mercadoria passou a custar R$300,00.

Como deu um desconto de 40% sobre o preço de venda:



Portanto, como o comerciante comprou a mercadoria por R$200,00 e a vendeu por R$180,00, obteve um prejuízo de R$20,00.

Fatoração

Fatorar é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadas fatores.

Ex: ax + ay = a.(x+y)

Existem vários casos de fatoração como:

1) Fator Comum em evidência

Quando os termos apresentam fatores comuns

Observe o polinômio:
ax + ay » Ambos os termos apresentam o fator a em evidência.

Assim: ax + ay = a.(x+y)
Forma fatorada

Exs : Fatore:

a) bx + by - bz = b.(x+y-z)

b)

c)

d) (a+b)x + (a+b)y = (a+b).(x+y)

e)

2) Fatoração por agrupamento

Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em alguns polinômios especiais.

Como por exemplo:
ax + ay + bx + by
Os dois primeiros termos possuem em comum o fator a , os dois últimos termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidência:

a.(x+y) + b.(x+y)

Este novo polinômio possui o termo (x+y) em comum. Assim colocando-o em evidência:


(x+y).(a+b)

Ou seja: ax + ay + bx + by = (x+y).(a+b)

Exs: Fatore:

a)
x é fator a é fator (x-3) é fator comum Forma
comum comum fatorada

b) é fator é fator (2+a) é fator comum Forma
comum comum fatorada



3) Fatoração por diferença de quadrados:

Consiste em transformar as expressões em produtos da soma pela diferença, simplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado

Assim:

Exs: Fatore:

a)

b)

c)
Note que é possível fatorar a expressão duas vezes

4) Fatoração do trinômio quadrado perfeito:

O trinômio que se obtém quando se eleva um binômio ao quadrado chama-se trinômio quadrado perfeito.

Por exemplo, os trinômios () e ( ) são quadrados perfeitos porque são obtidos quando se eleva (a+b) e (a-b) ao quadrado, respectivamente.



Assim:

| |

| |
2x 3y
|__________|
|
2.2x.3y = 12xy » note que é igual ao segundo termo de

Portanto trata-se de um trinômio quadrado perfeito.
= » forma fatorada
|_______________|
Sinal

Logo: = » forma fatorada
|_______________|
Sinal


Exs:

a)

b)

*Convém lembrarmos que ao fatorarmos uma expressão algébrica, devemos fatorá-la por completo:
Exs:

a)

b)

Outros casos de fatoração:

1)

2)

3)

Notação Científica


Os números reais podem ser representados de inúmeras formas, de acordo com o que se esteja trabalhando, observe:

4 = 8/2 = 4*2 = (–2)*(–2)

3 = 9/3 = 1*3 = (–1)*(–3)

10 = 20/2 = 2*5 = (–2)*(–5)

Nas situações acima, podemos decidir de que forma iremos representar as quantidades. Mas existem alguns casos nos quais é mais conveniente mostrar os números na forma de notação científica, que serve para representar números muitos pequenos ou muito grandes.

Por exemplo:

O coração humano bate cerca de 110 000 000 de vezes em três anos.

No universo, existem cerca de 10 000 000 000 000 000 000 000 de estrelas.

Os números do exemplo acima podem ser escritos na forma de notação científica. Essa forma de representação utiliza números entre 1 e 10, com 1 ≤ x < 10, multiplicado por potências de 10 com expoentes inteiros.

No caso do número 110 000 000, podemos representá-lo da seguinte forma 1,1 x 108, pois 108 = 100 000 000.

Transformando

Números grandes

5 000 000 → 5, 000 000
Note que a vírgula andou 6 casas para a esquerda, então esse número expresso por notação científica fica: 5 x 106.

Números pequenos

0, 000 000 0021 → 2,1
A vírgula avançou 9 casa para a direita, então esse número será expresso pela notação científica: 2,1 x 10–9.

Obs.:
Número grande: o expoente aumenta.
Número pequeno: o expoente diminui.

Veja mais alguns exemplos de números na forma de notação científica:

a) 120 000 000 000 000 000 000 = 1,2 x 1020
b) 0, 000 000 098 = 9,8 x 10–8
c) 512 000 000 000 = 5,12 x 1011
d) 0, 000 000 000 000 000 000 000 023 = 2,3 x 10–23

terça-feira, 24 de novembro de 2009

Função do 1º grau

Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência:

Correspondência: é qualquer conjunto de pares ordenados onde o primeiro elemento pertence ao primeiro conjunto dado e o segundo elemento pertence ao segundo conjunto dado.

Assim: Dado os conjuntos A={1,2,3} e B={1,2,3,4,5,6} consideremos a correspondência de A em B, de tal modo que cada elemento do conjunto A se associa no conjunto B com o seu sucessor. Assim ; ; . A correspondência por pares ordenados seria:

Noções de função:

Considere os diagramas abaixo:

1

2

3

4

5

Condições de existência:

(1) Todos os elementos de x têm um correspondente em y.

(2) Cada elemento de x tem um e somente um correspondente em y.

Analisando os diagramas acima:

O diagrama 1 não satisfaz a condição (1); os diagramas 3, 4 e 5 não satisfazem a condição (2).

Logo, somente o diagrama 2 representa uma função.

Domínio, Contradomínio e Imagem

Observe o diagrama a seguir:


Chamemos esta função de f, logo o conjunto de pares ordenados serão:

f={(1,2),(2,3),(3,4)}

O conjunto X={1,2,3} denomina-se domínio da função f.

D(F)=X

O conjunto Y={1,2,3,4,5} denomina-se contradomínio da função f.

C(F)=Y

Dizemos que 2 é a imagem de 1 pela função f.

f(1)=2

Ainda, f(2)=3 e f(3)=4.

Logo o conjunto das imagens de f e dado por:

Im(f)={2,3,4}

Determinação de função:

Observe:

1) Associe cada elemento de X com o seu consecutivo:


2) Associe cada elemento de X com a sua capital.


3) Determine o conjunto imagem de cada função:

a) D(f) = {1,2,3}
y = f(x) = x + 1

[Sol] f(1) = 1+1 = 2
f(2) = 2+1 = 3
f(3) =3+1 = 4

Logo: Im(f)={2,3,4}

b) D(f) = {1,3,5}
y = f(x) = x²

[Sol] f(1) = 1² = 1
f(3) = 3² = 9
f(5) = 5² = 25

Logo: Im(f)={1,9,25}

Plano cartesiano

Consideremos dois eixos x e y perpendiculares em 0, os quais determinam o plano A.
Dado um plano P qualquer, pertencente ao plano A, conduzamos por ele duas retas:
x // x' e y // y'
Denominemos P1 a interseção de x com y' e P2 a interseção de y com x'

Nessas condições, definimos:
- Abscissa de P é um número real representado por P1
- Ordenada de P é um número real representado por P2
- A coordenada de P são números reais x' e y' , geralmente indicados na forma de par ordenado ( x' , y' )
- O eixo das abscissas é o eixo x
- O eixo das ordenadas é o eixo y
- A origem do sistema é o ponto 0
- Plano cartesiano é o plano A.



Depois desta revisão, vamos finalmente ver a Função do 1º grau!

Exemplo:

Numa loja, o salário fixo mensal de um vendedor é 500 reais. Além disso, ele recebe de comissão 50 reais por produto vendido.

a) Escreva uma equação que expresse o ganho mensal y desse vendedor, em função do número x de produto vendido.

[Sol] y=salário fixo + comissão
y=500 + 50x

b) Quanto ele ganhará no final do mês se vendeu 4 produtos?

[Sol] y=500+50x , onde x=4
y=500+50.4 = 500+200 = 700

c) Quantos produtos ele vendeu se no final do mês recebeu 1000 reais?

[Sol] y=500+50x , onde y=1000
1000=500+50x » 50x=1000-500 » 50x=500 » x=10

A relação assim definida por uma equação do 1º grau é denominada função do 1º grau, sendo dada por:

y=f(x)=ax+b com , e

Gráfico da função do 1º grau:

O gráfico de uma função do 1º grau de R em R é uma reta.


Exemplo:

1) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=x+1:

[Sol] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.

x

y=f(x)=x+1

-2

-1

-1

0

0

1

1

2

2

3

O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3)}


2) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=-x+1.

[Sol] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.

x

y=f(x)=-x+1

-2

3

-1

2

0

1

1

0

2

-1

O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-2,3),(-1,2),(0,1),(1,0),(2,-1)}


Gráficos crescente e decrescente respectivamente:

y = x+1 ( a> 0 ) ; onde a = 1

Função crescente

y = -x+1 ( a<0 a="-1

Função decrescente


Raiz ou zero da função do 1º grau:

Para determinarmos a raiz ou zero de uma função do 1º grau, definida pela equação y=ax+b, como a é diferente de 0, basta obtermos o ponto de intersecção da equação com o eixo x, que terá como coordenada o par ordenado (x,0).


1) Considere a função dada pela equação y=x+1, determine a raiz desta função.

[Sol] Basta determinar o valor de x para termos y=0

x+1=0 » x=-1

Dizemos que -1 é a raiz ou zero da função.


Note que o gráfico da função y=x+1, interceptará (cortará) o eixo x em -1, que é a raiz da função.

2) Determine a raiz da função y=-x+1 e esboce o gráfico.

[Sol] Fazendo y=0, temos:
0 = -x+1 » x = 1

Gráfico:


Note que o gráfico da função y=-x+1, interceptará (cortará) o eixo x em 1, que é a raiz da função.

Sinal de uma função de 1º grau:

Observe os gráficos:

a>0

a<0


Note que para x=-b/a, f(x)=0 (zero da função). Para x>-b/a, f(x) tem o mesmo sinal de a. Para x<-b/a, f(x) tem o sinal contrário ao de a.

Exemplos:

1) Determine o intervalo das seguintes funções para que f(x)>0 e f(x)<0.

a) y=f(x)=x+1

[Sol] x+1>0 » x>-1
Logo, f(x) será maior que 0 quando x>-1

x+1<0 » x<-1
Logo, f(x) será menor que 0 quando x<-1

b) y=f(x)=-x+1

Função do 2º grau

A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo:

y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e

Exemplos:

a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 )

b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 )

c) y=x²-4 ( a=1; b=0; c=-4 )

Gráfico de uma função do 2º grau:

O gráfico de uma função quadrática
é uma parábola


Podemos visualizar uma parábola em um parque de diversões, simplesmente olhando para a montanha russa.

Sua representação gráfica é dada em torno de eixos:

Representação gráfica

Exemplo:

Construa o gráfico da função y=x²:

[Sol] Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.

x

y = f(x) = x²

-2

4

-1

1

0

0

1

1

2

4

3

9

Notem que os pontos: A e A`, B e B`, C e C` são simétricos (estão a mesma distância do eixo de simetria). O ponto V representa o vértice da parábola, é a partir dele que determinamos todos os outros pontos.

Coordenadas do vértice

A coordenada x do vértice da parábola pode ser determinada por .

Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola y=x²-4x+3

Temos: a=1, b=-4 e c=3

Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada y?

Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y.

Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola
y=x²-4x+3, devemos substituir o valor de x por 2.

y = (2)²-4.(2)+3 = 4-8+3=-1

Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1)

Portanto, para determinarmos as coordenadas do vértice de uma parábola, achamos o valor da coordenada x (através de x=-b/2a) e substituindo este valor na função, achamos a coordenada y!!!

Raízes (ou zeros) da função do 2º grau

Denominam-se raízes da função do 2º grau os valores de x para os quais ela se anula.

y=f(x)=0

Exemplo: na função y=x²-4x+3, que acima acabamos de determinar as coordenadas de seus vértices, as raízes da função serão x=1 e x`=3.

Vejamos o gráfico:

Notem que quando x=1 e x`=3, a parábola intercepta ("corta") o eixo x.

Como determinar a raiz ou zero da função do 2º grau?

Simplesmente aplicando a resolução de equações do 2º grau, já vista na seção anterior.

Exemplo: determine a raiz da função y=x²+5x+6:

Fazendo y=f(x)=0, temos x²+5x+6=0

Agora basta resolver a equação aplicando a fórmula de Bháskara.

x²+5x+6=0

Acharemos que x = -2 e x` = -3.

Concavidade da parábola

Explicarei esta parte com um simples desenho.

a>0

a<0

Os desenhos até que ficaram bonitinhos, mas isso não importa neste momento. O que nos importa agora é que quando a>0, a concavidade da parábola está voltada para cima (carinha feliz) e quando a<0,>

Exemplos:

y = f(x) = x² - 4

a = 1 >0

y = f(x) = -x² + 4

a = -1 <>

[Nota] Quando a concavidade está voltada para cima (a>0), o vértice representa o valor mínimo da função. Quando a concavidade está voltada para baixo (a<0),>

Quando o discriminante é igual a zero

Quando o valor de , o vértice a parábola encontra-se no eixo x. A coordenada y será igual a zero.

Exemplo: y=f(x)=x²+2x+1

x²+2x+1=0

x=x`=-b/2a=-1

As coordenadas do vértice serão V=(-1,0)

Gráfico:

Quando o discrimintante é maior que zero

Quando o valor de , a parábola intercepta o eixo x em dois pontos. (São as raízes ou zeros da função vistos anteriormente).

Exemplo: y = f(x) = x²-4x+3

x²-4x+3=0

x=1, x`=3

Gráfico:

Quando o discriminante é menor que zero

Quando o valor de