trabalho de matematica

Função do 1º grau

Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência:

Correspondência: é qualquer conjunto de pares ordenados onde o primeiro elemento pertence ao primeiro conjunto dado e o segundo elemento pertence ao segundo conjunto dado.

Assim: Dado os conjuntos A={1,2,3} e B={1,2,3,4,5,6} consideremos a correspondência de A em B, de tal modo que cada elemento do conjunto A se associa no conjunto B com o seu sucessor. Assim ; ; . A correspondência por pares ordenados seria:

Noções de função:

Considere os diagramas abaixo:

Condições de existência:

(1) Todos os elementos de x têm um correspondente em y.

(2) Cada elemento de x tem um e somente um correspondente em y.

Analisando os diagramas acima:

O diagrama 1 não satisfaz a condição (1); os diagramas 3, 4 e 5 não satisfazem a condição (2).

Logo, somente o diagrama 2 representa uma função.

Domínio, Contradomínio e Imagem

Observe o diagrama a seguir:

Chamemos esta função de f, logo o conjunto de pares ordenados serão:

f={(1,2),(2,3),(3,4)}

O conjunto X={1,2,3} denomina-se domínio da função f.

D(F)=X

O conjunto Y={1,2,3,4,5} denomina-se contradomínio da função f.

C(F)=Y

Dizemos que 2 é a imagem de 1 pela função f.

f(1)=2

Ainda, f(2)=3 e f(3)=4.

Logo o conjunto das imagens de f e dado por:

Im(f)={2,3,4}

Determinação de função:

Observe:

1) Associe cada elemento de X com o seu consecutivo:

2) Associe cada elemento de X com a sua capital.

3) Determine o conjunto imagem de cada função:

a) D(f) = {1,2,3}
y = f(x) = x + 1

[Sol] f(1) = 1+1 = 2
f(2) = 2+1 = 3
f(3) =3+1 = 4

Logo: Im(f)={2,3,4}

b) D(f) = {1,3,5}
y = f(x) = x²

[Sol] f(1) = 1² = 1
f(3) = 3² = 9
f(5) = 5² = 25

Logo: Im(f)={1,9,25}

Plano cartesiano

Consideremos dois eixos x e y perpendiculares em 0, os quais determinam o plano A.
Dado um plano P qualquer, pertencente ao plano A, conduzamos por ele duas retas:
x // x' e y // y'
Denominemos P1 a interseção de x com y' e P2 a interseção de y com x'

Nessas condições, definimos:
- Abscissa de P é um número real representado por P1
- Ordenada de P é um número real representado por P2
- A coordenada de P são números reais x' e y' , geralmente indicados na forma de par ordenado ( x' , y' )
- O eixo das abscissas é o eixo x
- O eixo das ordenadas é o eixo y
- A origem do sistema é o ponto 0
- Plano cartesiano é o plano A.

Depois desta revisão, vamos finalmente ver a Função do 1º grau!

Exemplo:

Numa loja, o salário fixo mensal de um vendedor é 500 reais. Além disso, ele recebe de comissão 50 reais por produto vendido.

a) Escreva uma equação que expresse o ganho mensal y desse vendedor, em função do número x de produto vendido.

[Sol] y=salário fixo + comissão
y=500 + 50x

b) Quanto ele ganhará no final do mês se vendeu 4 produtos?

[Sol] y=500+50x , onde x=4
y=500+50.4 = 500+200 = 700

c) Quantos produtos ele vendeu se no final do mês recebeu 1000 reais?

[Sol] y=500+50x , onde y=1000
1000=500+50x » 50x=1000-500 » 50x=500 » x=10

A relação assim definida por uma equação do 1º grau é denominada função do 1º grau, sendo dada por:

y=f(x)=ax+b com , e

Gráfico da função do 1º grau:

O gráfico de uma função do 1º grau de R em R é uma reta.

Exemplo:

1) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=x+1:

[Sol] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.

x	y=f(x)=x+1
-2	-1
-1	0
0	1
1	2
2	3

O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3)}

2) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=-x+1.

[Sol] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.

x	y=f(x)=-x+1
-2	3
-1	2
0	1
1	0
2	-1

O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-2,3),(-1,2),(0,1),(1,0),(2,-1)}

Gráficos crescente e decrescente respectivamente:

y = x+1 ( a> 0 ) ; onde a = 1

Função crescente

y = -x+1 ( a<0 a="-1

Função decrescente

Raiz ou zero da função do 1º grau:

Para determinarmos a raiz ou zero de uma função do 1º grau, definida pela equação y=ax+b, como a é diferente de 0, basta obtermos o ponto de intersecção da equação com o eixo x, que terá como coordenada o par ordenado (x,0).

1) Considere a função dada pela equação y=x+1, determine a raiz desta função.

[Sol] Basta determinar o valor de x para termos y=0

x+1=0 » x=-1

Dizemos que -1 é a raiz ou zero da função.

Note que o gráfico da função y=x+1, interceptará (cortará) o eixo x em -1, que é a raiz da função.

2) Determine a raiz da função y=-x+1 e esboce o gráfico.

[Sol] Fazendo y=0, temos:
0 = -x+1 » x = 1

Gráfico:

Note que o gráfico da função y=-x+1, interceptará (cortará) o eixo x em 1, que é a raiz da função.

Sinal de uma função de 1º grau:

Observe os gráficos:


a>0	a<0

Note que para x=-b/a, f(x)=0 (zero da função). Para x>-b/a, f(x) tem o mesmo sinal de a. Para x<-b/a, f(x) tem o sinal contrário ao de a.

Exemplos:

1) Determine o intervalo das seguintes funções para que f(x)>0 e f(x)<0.

a) y=f(x)=x+1

[Sol] x+1>0 » x>-1
Logo, f(x) será maior que 0 quando x>-1

x+1<0 » x<-1
Logo, f(x) será menor que 0 quando x<-1

b) y=f(x)=-x+1

Função do 2º grau

A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo:

y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e

Exemplos:

a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 )

b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 )

c) y=x²-4 ( a=1; b=0; c=-4 )

Gráfico de uma função do 2º grau:

O gráfico de uma função quadrática
é uma parábola

Podemos visualizar uma parábola em um parque de diversões, simplesmente olhando para a montanha russa.

Sua representação gráfica é dada em torno de eixos:

Representação gráfica

Exemplo:

Construa o gráfico da função y=x²:

[Sol] Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.

x	y = f(x) = x²
-2	4
-1	1
0	0
1	1
2	4
3	9

Notem que os pontos: A e A`, B e B`, C e C` são simétricos (estão a mesma distância do eixo de simetria). O ponto V representa o vértice da parábola, é a partir dele que determinamos todos os outros pontos.

Coordenadas do vértice

A coordenada x do vértice da parábola pode ser determinada por .

Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola y=x²-4x+3

Temos: a=1, b=-4 e c=3

Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada y?

Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y.

Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola
y=x²-4x+3, devemos substituir o valor de x por 2.

y = (2)²-4.(2)+3 = 4-8+3=-1

Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1)

Portanto, para determinarmos as coordenadas do vértice de uma parábola, achamos o valor da coordenada x (através de x=-b/2a) e substituindo este valor na função, achamos a coordenada y!!!

Raízes (ou zeros) da função do 2º grau

Denominam-se raízes da função do 2º grau os valores de x para os quais ela se anula.

y=f(x)=0

Exemplo: na função y=x²-4x+3, que acima acabamos de determinar as coordenadas de seus vértices, as raízes da função serão x=1 e x`=3.

Vejamos o gráfico:

Notem que quando x=1 e x`=3, a parábola intercepta ("corta") o eixo x.

Como determinar a raiz ou zero da função do 2º grau?

Simplesmente aplicando a resolução de equações do 2º grau, já vista na seção anterior.

Exemplo: determine a raiz da função y=x²+5x+6:

Fazendo y=f(x)=0, temos x²+5x+6=0

Agora basta resolver a equação aplicando a fórmula de Bháskara.

x²+5x+6=0

Acharemos que x = -2 e x` = -3.

Concavidade da parábola

Explicarei esta parte com um simples desenho.


a>0	a<0

Os desenhos até que ficaram bonitinhos, mas isso não importa neste momento. O que nos importa agora é que quando a>0, a concavidade da parábola está voltada para cima (carinha feliz) e quando a<0,>

Exemplos:

y = f(x) = x² - 4

a = 1 >0

y = f(x) = -x² + 4

a = -1 <>

[Nota] Quando a concavidade está voltada para cima (a>0), o vértice representa o valor mínimo da função. Quando a concavidade está voltada para baixo (a<0),>

Quando o discriminante é igual a zero

Quando o valor de , o vértice a parábola encontra-se no eixo x. A coordenada y será igual a zero.